Условия первой лиги. ТЮМка 2008-2009, второй этап, первый тур

  1. Вася, Коля, Федя и Женя звонят из МИРЭА своим мамам: Людмиле Григорьевне, Веронике Алексеевне, Антонине Ивановне и Марии Федоровне. Известно, что если Антонина Ивановна — мама Коли, то Мария Федоровна — не мама Феди. Известно также, что Вася не общается с Людмилой Григорьевной и Вероникой Алексеевной, а Коля с Антониной Ивановной и Марией Федоровной. Вероника Алексеевна ни разу не видела ни Васю, ни Федю, а Федя не знаком с Людмилой Григорьевной. Кто чья мама?
  2. Перед началом матбоев все n участников выстроились в шеренгу. Известно, что любой среди них либо только врёт, либо только говорит правду. Николай Степанович спросил каждого из них: «Сколько от тебя слева и сколько справа лжецов?». И каждый ответил: «Поровну». Сколько могло быть лжецов в той шеренге?
  3. Серединные перпендикуляры к сторонам АВ и СD четырехугольника АВСD пересекаются на стороне АD. Докажите, что если углы А и D равны, то диагонали четырехугольника АВСD равны.
  4. Конфета «Рафаэло» — шоколадный шар, внутри которого лежит орех. Гайке подарили на день рождения коробку с 49 такими конфетами, выложенными в виде квадрата 7×7. Чип и Дейл съели орехи из семи конфет и положили их обратно так, что внешне невозможно отличить испорченные конфеты. Они заявили, что в каждой строке и каждом столбце шоколадного квадрата только одна испорченная конфета. Рокки утверждает, что тогда он с помощью 10 взвешиваний на чашечных весах без гирь сможет определить все испорченные конфеты. Верно ли это? (Взвешивать он может любое кол-во и из любой части квадрата. Все неиспорченные конфеты весят одинаково и все испорченные конфеты также весят одинаково.)
  5. Имеются 4 различных действительных числа a1, a2, b1, b2, причем (a1+b1)(a1+b2)=(a2+b1)(a2+b2). Докажите, что (a1+b1)(a2+b1)= (a1+b2)(a2+b2).
  6. На доске написано число 0. За одну операцию к написанному числу можно прибавить 55 или поменять местами его первую и третью цифры (если они существуют и ненулевые). Можно ли за несколько таких операций получить 2008?
  7. В некотором государстве больше 10 городов, причем любые два города соединены прямым рейсом самолета или поезда. Известно, что пользуясь только одним из этих двух видов транспорта, никакие 4 города невозможно объехать, побывав в каждом ровно один раз, и вернуться обратно. Докажите, что тогда пользуясь только одним видом транспорта никакие 5 городов невозможно объехать, побывав в каждом ровно один раз, и вернуться обратно.
  8. Четыре вороны вылетели из гнезда (Г) и полетели на общее собрание (С). По пути они совершали посадки на четырех деревьях, растущих в каком-то порядке на отрезке ГС: березе (Б), вязе (В), дубе (Д) и ели (Е). Первая ворона пролетела по маршруту Г-Б-Д-Е-В-С , длина которого 2 км. Вторая — по маршруту Г-Е-Д-С длиной 4 км, а третья — по маршруту: Г-В-Б-С длиной 5 км. Сколько километров пролетела четвертая ворона, если её маршрут был Г-Д-Б-В-Е-С?
  9. Найдите наибольшее число, все цифры которого различны и одна из них равна сумме остальных.
  10. Семиклассник разрезал бумажный квадрат на прямоугольники периметра 7см, а восьмиклассник точно такой же квадрат — на прямоугольники периметра 8 см. Могло ли у восьмиклассника получиться больше прямоугольников?
05.10.08
ТЮМка
МИРЭА
Турнир математических боев 7-8 классов 2008-2009

Добавить комментарий

Более подробная информация о текстовых форматах

Filtered HTML

  • Адреса страниц и электронной почты автоматически преобразуются в ссылки.
  • Разрешённые HTML-теги: <a> <em> <strong> <cite> <blockquote> <code> <ul> <ol> <li> <dl> <dt> <dd> <h2> <h3> <h4> <h5> <h6> <img> <table> <thead> <tbody> <th> <tr> <td>
  • Строки и параграфы переносятся автоматически.

Plain text

  • HTML-теги не обрабатываются и показываются как обычный текст
  • Адреса страниц и электронной почты автоматически преобразуются в ссылки.
  • Строки и параграфы переносятся автоматически.
CAPTCHA
Защита от роботов (только латинские буквы)